前言

在优化领域，混沌映射可以用于替代伪随机数生成器，生成 0 到 1 之间的混沌数。经过实验证明，利用混沌序列进行种群初始化、选择、交叉和变异等操作会影响算法的整个过程，而且常常能取得比伪随机数更好的效果。

混沌映射特征

混沌映射被用于生成混沌序列，这是一种由简单的确定性系统产生的随机性序列。一般混沌序列具有以下主要特征：

  1. 非线性；
  2. 对初值的敏感依赖性；
  3. 遍历性；
  4. 随机性；
  5. 奇异吸引子（混沌吸引子）；
  6. 分数维持性；
  7. 整体稳定局部不稳定；
  8. 长期不可预测性；
  9. 轨道不稳定性及分叉；
  10. 普适性和Feigenbaum常数。

常见分类

  1. Logistic 映射，又称虫口映射
    $$z_{k+1}=\mu z_{k}\left(1-z_{k}\right)$$
    其中，$z_{0} \notin{0,0.25,0.5,0.75,1.0} \quad \mu \in[0,4]$

  2. PWLCM映射
    $$z_{k+1}=\left{\begin{array}{ll}z_{k} / p, & z_{k} \in(0, p) \ \left(1-z_{k}\right)(1-p), & z_{k} \in[p, 1)\end{array} ;\right.$$

  3. Singer映射
    $$z_{k+1}=\mu\left(7.86 z_{k}-23.31 z_{k}^{2}+28.75 z_{k}^{3}-13.302875 z_{k}^{4}\right)$$
    其中，当 $\mu \in[0.9,1.08]$ 时，Singer 映射具有混沌行为。

  4. Sine 映射
    $$z_{k+1}=\frac{4}{a} \sin \left(\pi z_{k}\right)$$
    Sine 映射是一种单峰映射，并且值域为 $[-1, 1]$, 其中 $a \in (0,4]$

  5. Gussian映射
    $$z_{k+1}=\left{\begin{array}{ll}0, & z_{k}=0 \ \bmod \left(\mu / z_{k}, 1\right), & z_{k} \neq 0\end{array} ;\right.$$

  6. Tent 映射，又称帐篷映射
    $$z_{k+1}=\left{\begin{array}{ll}z_{k}/(1-\lambda), & z_{k} \in (0, 1-\lambda] \ (z_{k}-1+\lambda)/\lambda, & z_{k} \in (1-\lambda, 0]\end{array} ;\right.$$

  7. Chebyshev 映射
    $$z_{k+1}=\cos(\phi \cos^{-1}z_{k})$$

参考

<https://www.cnblogs.com/BaobMa/p/15960929.
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